Les comptes des caisses du supermarché

Lilian, gérant d'un supermarché, doit contrôler l'efficacité de ses employés de caisse. Il s'est aperçu que, en moyenne, \(1\) caisse sur \(12\) contenait une erreur, c'est-à-dire que le montant contenu dans la caisse n'était pas correct.

1. Dans un premier temps, Lilian décide de tester au hasard \(3\) caisses. On note \(\text{E}\) l'événement « la caisse contient une erreur ».
    a. Justifier qu’il s’agit de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont on donnera le paramètre.
    b. Illustrer la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
    c. Combien de chemins mènent à \(2\) caisses contenant une erreur ?
    d. Déterminer la probabilité de chacun de ces chemins. Justifier que chacun de ces chemins a la même probabilité.
    e. Déterminer alors la probabilité d'obtenir \(2\) caisses contenant une erreur.

2. Lilian décide maintenant de tester au hasard huit caisses.
La neuvième ligne du triangle de Pascal, c'est-à-dire celle qui donne le nombre de chemins pour la répétition de huit épreuves de Bernoulli, est : \(1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\).
    a. Combien de chemins mènent à \(3\) caisses contenant des erreurs ?
    b. En déduire la probabilité d'obtenir \(3\) caisses contenant des erreurs.
    c. En suivant le même raisonnement, déterminer la probabilité d'obtenir \(6\) caisses contenant une erreur.